Question

5．如圖，△ABC中，O是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AD延長線上一點(diǎn)，BE∥CD交AD于E，連接BD、CE
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）若AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=4，當(dāng)點(diǎn)D在AD延長線上移動時，四邊形BECD能否成為正方形？若能，求出AD的長；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由BE∥CD得到∠EBO=∠DCO，再利用“ASA”證明△OBE≌△OCD得到BE=CD，于是可判斷四邊形BECD是平行四邊形；
（2）由于AB=AC=2$\sqrt{5}$，OB=OC=2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AO⊥BC，于是可判定四邊形BECD為菱形，根據(jù)正方形的判定方法，當(dāng)OD=OB=2時，四邊形BECD為正方形，接著利用勾股定理計(jì)算出OA=4，所以AD=AO+OD=6．

解答 （1）證明：∵BE∥CD，
∴∠EBO=∠DCO，
∵O是邊BC的中點(diǎn)，
∴OB=OC，
在△OBE和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBO=∠DCO}\\{OB=OC}\\{∠BOE=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OCD，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形；
（2）解：存在．
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$，OB=OC=2，
∴AO⊥BC，
∴四邊形BECD為菱形，
當(dāng)OD=OB=2時，四邊形BECD為正方形，
在Rt△ABO中，OA=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴AD=AO+OD=4+2=6．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．也考查了平行四邊形的判定．