Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=$\frac{4}{5}$，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作射線PE交射線BA于點(diǎn)D，∠BPD=∠BAC，以點(diǎn)P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作⊙P交射線PD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，設(shè)BD=x，CE=y．
（1）當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，求⊙P的半徑；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果⊙O與⊙P相交于點(diǎn)C、E，且⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，當(dāng)OP=$\frac{5}{4}$時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作PF⊥BD于F，作AH⊥BC于H，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH，再通過(guò)解直角三角形得到BH=4，AH=3，則BC=2BH=8，sinB=$\frac{3}{5}$，接著在Rt△BPH中利用正弦的定義得到PF=$\frac{3}{5}$（8-r），然后根據(jù)切線的性質(zhì)得$\frac{3}{5}$（8-r）=r，再解方程求出r即可；
（2）先證明△BDP∽△BCA，利用相似比得到r=8-$\frac{5}{8}$x，作PG⊥CE于G，如圖，利用垂徑定理得到CG=EG=$\frac{1}{2}$y，再證明FP⊥PG，所以∠GPC=∠B，接著在Rt△PGC中利用正弦定義得到$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$r，則$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$（8-$\frac{5}{8}$x），然后用x表示y，同時(shí)寫出x的取值范圍；
（3）根據(jù)三角形外心性質(zhì)可判定點(diǎn)O為AH和GP的交點(diǎn)，如圖，在Rt△OPH中，利用三角函數(shù)可計(jì)算出PH=1，討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB上，此時(shí)r=5，則8-$\frac{5}{8}$x=5，解方程求出x后計(jì)算5-x即可得到AD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)r=3，則8-$\frac{5}{8}$x=3，然后方程求出x后計(jì)算x-5即可得到AD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）作PF⊥BD于F，作AH⊥BC于H，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，∵cosB=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{4}{5}$×5=4，
∴AH=3，BC=2BH=8，
在Rt△ABH中，sinB=$\frac{3}{5}$
在Rt△BPH中，sinB=$\frac{PF}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∴PF=$\frac{3}{5}$（8-r），
當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，PF=PC，即$\frac{3}{5}$（8-r）=r，解得r=3，
即當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，⊙P的半徑為3；

（2）∵∠BPD=∠BAC，∠DBP=∠ABC，
∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{8-r}{5}$=$\frac{x}{8}$，
∴r=8-$\frac{5}{8}$x，
作PG⊥CE于G，如圖，則CG=EG=$\frac{1}{2}$y，
∵PE=PC，
∴∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPC，
∵△BDP∽△BCA，
∴∠D=∠C=∠B，
∴PB=PD，
∴∠DPF=$\frac{1}{2}$∠DPB，
∴∠GPF=$\frac{1}{2}$∠DPC+$\frac{1}{2}$∠DPB=90°，
∴FP⊥PG，
∴∠GPC=∠B，
在Rt△PGC中，sinB=$\frac{CG}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$r，
∴$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$（8-$\frac{5}{8}$x），
∴y=$\frac{192-15x}{20}$，
當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，r=0，即8-$\frac{5}{8}$x=0，解得x=$\frac{64}{5}$，
∴x的取值范圍為5＜x＜$\frac{64}{5}$；

（3）∵⊙O與⊙P相交于點(diǎn)C、E，且⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴點(diǎn)O在CE和BC的垂直平分線上，
即點(diǎn)O為AH和GP的交點(diǎn)，如圖，
∵∠OPH=∠GPC，
∴cos∠OPH=$\frac{PH}{OP}$=$\frac{4}{5}$，
∴PH=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{4}$=1，
當(dāng)點(diǎn)P在BH上，即點(diǎn)D在AB上，此時(shí)r=1+4=5，則8-$\frac{5}{8}$x=5，解得x=$\frac{24}{5}$，
∴AD=AB-AD=5-x=5-$\frac{24}{5}$=$\frac{1}{5}$
當(dāng)點(diǎn)P在CH上，即點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)r=4-1=3，則8-$\frac{5}{8}$x=3，解得x=8，
∴AD=AD-AB=8-5=3，
綜上所述，AD的長(zhǎng)為$\frac{1}{5}$或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、三角形外心的性質(zhì)和切線的性質(zhì)；會(huì)利用三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算；運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．