Question

12．如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角形的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D、E始終在直線(xiàn)BC上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0s時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．
（1）半圓O在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試判斷點(diǎn)A與半圓O的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線(xiàn)AB與半圓O所在的圓相切；
（3）在（2）的條件下，如果半圓面積與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求半圓面與△ABC重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）求得AC的長(zhǎng)后與半圓的半徑比較大小后即可確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
（2）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)，當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線(xiàn)BC上，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=4；當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥直線(xiàn)AB，垂足為Q，利用直角三角形可求得點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm，可求出時(shí)間t；
（3）在（2）的條件下，只有當(dāng)t=4時(shí)符合條件，利用圓扇形的面積可求得面積．

解答 解：（1）∵DE=12cm，
∴R=6cm，
∵BC=12cm，∠ABC=30°，
∴AC=tan30°BC=4$\sqrt{3}$＞BC，
∴半圓O在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)A在半圓O外；

（2）①如圖1，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)；

∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，
又∵圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線(xiàn)BC上，
∴O與C重合，
即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=8÷2=4（s），
②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥直線(xiàn)AB，垂足為Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm．
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=32÷2=16s，
綜上可知當(dāng)t=4s或16s時(shí)，AB與半圓O所在的圓相切；
（3）當(dāng)半圓O與AB邊相切于M時(shí)，如圖1，S=$\frac{1}{4}$π×6²=9π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．利用時(shí)間t來(lái)表示線(xiàn)段之間的關(guān)系是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中是常用的方法之一，要會(huì)靈活運(yùn)用．并能根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．