Question

2．某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批粽子的出廠價為每只6元．為按時完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關(guān)系式：y=$\left\{\begin{array}{l}{50x（0≤x≤5）}\\{30x+120（5＜x≤15）}\end{array}\right.$．
（1）李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？
（2）如圖，設(shè)第x天每只粽子的成本是P元，P與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫．若李明第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大值是多少元？
（3）設(shè)（2）小題中第m天利潤達到最大值，若要使第（m+1）天的利潤比第m天的利潤至少多48元，則第（m+1）天每只粽子至少應(yīng)提價幾元？

Answer 1

分析 （1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；
（2）根據(jù)圖象求得成本p與x之間的關(guān)系，然后根據(jù)利潤等于訂購價減去成本價，然后整理即可得到W與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答；
（3）根據(jù)（2）得出m+1=13，根據(jù)利潤等于訂購價減去成本價得出提價a與利潤w的關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)李明第n天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只，
由題意可知：30n+120=420，
解得n=10．
答：第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只．

（2）由圖象得，當0≤x≤9時，p=4.1；
當9≤x≤15時，設(shè)P=kx+b，
把點（9，4.1），（15，4.7）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，
∴p=0.1x+3.2，
①0≤x≤5時，w=（6-4.1）×50x=95x，當x=5時，w_最大=475（元）；
②5＜x≤9時，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，
∵x是整數(shù)，
∴當x=9時，w_最大=741（元）；
③9＜x≤15時，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x²+72x+336，
∵a=-3＜0，
∴當x=-$\frac{2a}$=12時，w_最大=768（元）；
綜上，當x=12時，w有最大值，最大值為768．

（3）由（2）可知m=12，m+1=13，
設(shè)第13天提價a元，由題意得，w₁₃=（6+a-p）（30x+120）=510（a+1.5），
∴510（a+1.5）-768≥48，解得a≥0.1．
答：第13天每只粽子至少應(yīng)提價0.1元．

點評 本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．