Question

1．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經(jīng)過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)圖象的頂點坐標及D點的坐標．
（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點，連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，直接寫出△BDE的面積．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0），B（8，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成頂點式即可得到頂點坐標，然后利用拋物線對稱性確定D點坐標；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再利用解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$得E點坐標，然后利用S_△BDE=S_△BDC+S_△EDC進行計算即可．

解答 解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×4+2b+c=0}\\{\frac{1}{2}×64+8b+c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
所以二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，
所以二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，-2），
由于拋物線的對稱軸為直線x=4，而A（2，0），
所以D點坐標為（6，0）；
（3）C（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（8，6），C（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=6}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$，
所以E點坐標為（3，-$\frac{3}{2}$），
所以S_△BDE=S_△BDC+S_△EDC=$\frac{1}{2}$×（6-4）×6+$\frac{1}{2}$×（6-4）×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和三角形面積公式．