Question

20．如圖，在Rt△ABO 中，AO=4，BO=3，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當(dāng)一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時，△AQP的面積最大；
（2）當(dāng)t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似．
（3）探索以O(shè)P為直徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系，并求出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作QH⊥OA于H．易知S=$\frac{1}{2}$•AP•QH=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t²+3t，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（2）因為∠PAQ=∠OAB，所以當(dāng)$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$時，△APQ∽△AOB，或$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$時，△PAQ∽△BAO，分別列出方程即可解決問題；
（3）如圖2中，設(shè)OP為直徑的⊙K與AB相切于點M．求出此時的t的值即可解決問題；

解答 解：（1）作QH⊥OA于H．

在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵QH∥OB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴QH=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$•AP•QH=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t²+3t，
∵S=-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∵-$\frac{3}{5}$＜0，0＜t≤2，
∴t=2時，S有最大值．

（2）因為∠PAQ=∠OAB，
所以當(dāng)$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$時，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{2t}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得t=$\frac{10}{7}$s，
或$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$時，△PAQ∽△BAO，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，
解得t=$\frac{25}{13}$s
綜上所述，t=$\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s時滿足條件．

（2）如圖2中，設(shè)OP為直徑的⊙K與AB相切于點M．

由sinA=$\frac{KM}{AK}$=$\frac{OB}{AB}$，可得$\frac{\frac{4-2t}{2}}{\frac{4-2t}{2}+2t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{1}{2}$s，
∴當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{2}$時，⊙K與AB相交，當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，⊙K與AB相切，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜t＜2時，⊙K與AB相離．

點評 本題考查相似形綜合題、二次函數(shù)、圓與直線的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．