Question

7．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連接AD、BD、OC、0D，且0D=5．
（1）若BD=6，求CD的長．
（2）若∠AD0：∠EDO=4：1，求∠A0C的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)垂徑定理可得ED=$\frac{1}{2}$CD，然后利用勾股定理可得5²-x²=6²-（5-x）²，計算出x的值，再利用勾股定理計算出ED的長，進而可得答案；
（2）根據(jù)垂徑定理可得$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{CB}$=$\widehat{DB}$，然后計算出∠ODE的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DOE的度數(shù)，進而可得答案．

解答 解：（1）∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，
∴ED=$\frac{1}{2}$CD，
∵0D=5，
∴BO=5，
設EO=x，則EB=5-x，
∴5²-x²=6²-（5-x）²，
解得：x=1.4，
∴ED=$\sqrt{D{O}^{2}-E{O}^{2}}$=4.8，
∴CD=9.6；

（2））∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{CB}$=$\widehat{DB}$，
∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CDB=∠ADO，
設∠ADO=4x，則∠CDB=4x．
由∠ADO：∠EDO=4：1，則∠EDO=x．
∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，
∴4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠EDO=10°，
∴∠EOD=80°，
∴∠AOD=100°，
∴∠AOC=100°．

點評 此題主要考查了垂徑定理，以及勾股定理的應用，關鍵是掌握平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�