Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，0）、B（2，$\frac{16}{5}$），且拋物線過點(diǎn)C（0，$\frac{16}{5}$）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是位于直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接BC，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b、c的方程組，求得a、b、c的值即可；
（2）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為E，交直線AB與點(diǎn)Q，作BD⊥x軸，垂足為D．先求得直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)P（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$），則Q（x，$\frac{4}{5}$x+$\frac{8}{5}$），然后依據(jù)S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ得到△ABP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)△ABP的面積有最大值時(shí)，x的值，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖2所示：先求得AH、GH的值，然后證明△AHG∽△MHA，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{GH}{AH}$=$\frac{AH}{HM}$，從而可求得HM的長，故此可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖3所示，先求得DG、DB的長，然后證明△BDG∽△MDB，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得DM的長，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{4a+2b+c=\frac{16}{5}}\\{c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\\{c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$．
（2）如圖1所示：過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為E，交直線AB與點(diǎn)Q，作BD⊥x軸，垂足為D．


設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{5}}\\{n=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{8}{5}$．
設(shè)點(diǎn)P（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$），則Q（x，$\frac{4}{5}$x+$\frac{8}{5}$）．
∴S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ×（AE+ED）=$\frac{1}{2}$×4×PQ=2PQ=2（y_P-y_Q）=-$\frac{4}{5}$x²+$\frac{16}{5}$．
∴當(dāng)x=0時(shí)，△ABP的面積有最大值．
∴P（0，$\frac{16}{5}$）．
（3）①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖2所示：

∵拋物線的對稱軸為x=1．
∴AH=3．
將x=1代入直線AB的解析式得：y=$\frac{12}{5}$，
∴GH=$\frac{12}{5}$．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°-∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴$\frac{GH}{AH}$=$\frac{AH}{HM}$，即AH²=GH•HM．
∴$\frac{12}{5}$HM=9，解得：HM=$\frac{15}{4}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-$\frac{15}{4}$）
②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖3所示．
∵DG=DH-GH，
∴DG=$\frac{16}{5}$-$\frac{12}{5}$=$\frac{4}{5}$．
由題意可知BD=1．

∵∠MBD+∠DBG=90°，∠MBD+∠BMD=90°，
∴∠DBG=∠BMD．
又∵∠BDM=∠BDG=90°，
∴△BDG∽△MDB，
∴$\frac{DB}{DG}$=$\frac{DM}{BD}$，即$\frac{1}{\frac{4}{5}}$=$\frac{DM}{1}$，解得DM=$\frac{5}{4}$．
∴MH=DH+DM=$\frac{16}{5}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{89}{20}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，$\frac{89}{20}$）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-$\frac{15}{4}$）或（1，$\frac{89}{20}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式、相似三角形的性質(zhì)和判定，列出△ABP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式是解答問題（2）的關(guān)鍵，找出圖中相似的三角形是解答問題（3）的關(guān)鍵．