Question

18．在 Rt△ABC中，AC=BC，點D為AB中點．∠GDH=90°，∠GDH繞點D旋轉(zhuǎn)，DG，DH分別與邊AC，BC交于E，F(xiàn)兩點．結(jié)論：①AE+BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AB，②AE²+BF²=EF²，③△DEF恒為等腰直角三角形，④S_{四邊形CEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．其中正確的是（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 連接CD，只要證明△ADE≌△CDF（ASA），即可推出AE=CF，DE=DF，S_△ADE=S_△CDF．由AC=BC，推出AC-AE=BC-CF，推出CE=BF，由此即可一一判斷．

解答 解：連接CD，∵AC=BC，點D為AB中點，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=CDF．
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，DE=DF，S_△ADE=S_△CDF．
∵AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，故①正確，
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始終為等腰直角三角形，故③
∵CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²故②正確，
∵S_{四邊形CEDF}=S_△EDC+S_△EDF，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△EDC+S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．故④正確．
∴正確的有①②③④．
故選A．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明△ADE≌△CDF，屬于中考常考題型．