Question

7．問(wèn)題提出；怎樣計(jì)算1×2+2×3+3×4+…+（n-1）×n呢？
（1）材料學(xué)習(xí)；計(jì)算1+2+3…+n
因?yàn)?=$\frac{1}{2}$（1×2-0×1）；2=$\frac{1}{2}$（2×3-1×2）；3=$\frac{1}{2}$（3×4-2×3）
…，n=$\frac{1}{2}$[n（n+1）-（n-1）n]
所以1+2+3+…+n
=$\frac{1}{2}$（1×2-0×1）+$\frac{1}{2}$（2×3-1×2）+$\frac{1}{2}$（3×4-2×3）+…+$\frac{1}{2}$[n（n+1）-（n-1）n]
=$\frac{1}{2}$[1×2-0×1+2×3-1×2+3×4-2×3+…+n（n+1）-（n-1）n]=$\frac{1}{2}$n（n+1）
（2）探究應(yīng)用
觀察規(guī)律：①1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×12）；②2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）；
③3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）；…
猜想歸納：
根據(jù)（2）中觀察的規(guī)律直接寫出：4×5=$\frac{1}{3}$（4×5×6-3×4×5）
（n-1）×n=$\frac{1}{3}$[（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
問(wèn)題解決：
1×2+2×3+3×4+4×5…+（n-1）×n
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]=$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1）
（3）拓展延伸
根據(jù)（1）、（2）中的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-2）（n-1）n=$\frac{1}{4}$（n-2）（n-1）n（n+1）．

Answer 1

分析 （2）根據(jù)給出的運(yùn)算方法類比計(jì)算得出答案即可；
（3）（1）、（2）中的規(guī)律，拆成4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積得出答案即可．

解答 解：（2）4×5=$\frac{1}{3}$（4×5×6-3×4×5）； 
1×2+2×3+3×4+4×5…+（n-1）×n
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1）；
（3）問(wèn)題解決：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-2）（n-1）n
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$[（n-2）（n-1）n（n+1）-（n-3）（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{4}$[1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+3×4×5×6-2×3×4×5+…+（n-2）（n-1）n（n+1）-（n-3）（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{4}$（n-2）（n-1）n（n+1）．
故答案為：4×5×6-3×4×5，（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n；（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n，=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]，$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1）；$\frac{1}{4}$（n-2）（n-1）n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用類比的思想與方法，得出運(yùn)算的規(guī)律解決問(wèn)題．