Question

12．已知關于x的一元二次方程kx²-2（k+1）x+k+3=0有實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是方程的兩個實數根，且kx₁²+2（k+1）x₂+k+3=4x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項系數不為0；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=$\frac{2（k+1）}{k}$，x₁x₂=$\frac{k+3}{k}$，kx₁²-2（k+1）x₁+k+3=0，得出kx₁²=2（k+1）x₁-（k+3）然后代入解方程即可．

解答 解：（1）∵方程有實數根，
∴k≠0且△=[2（k+1）]²-4k（k+3）≥0，
解得：k≤1且k≠0，
∴k的取值范圍：k≤1且k≠0．
（2）∵x₁，x₂是方程的兩個實數根，
∴x₁+x₂=$\frac{2（k+1）}{k}$，x₁x₂=$\frac{k+3}{k}$，kx₁²+2（k+1）x₁+k+3=0，
∴kx₁²=2（k+1）x₁-（k+3），
∴kx₁²+2（k+1）x₂+k+3=4x₁x₂，
2（k+1）x₁-（k+3）+2（k+1）x₂+k+3=4•$\frac{k+3}{k}$，
2（k+1）•$\frac{2（k+1）}{k}$=4•$\frac{k+3}{k}$，
解得：k=-2或k=1，
∵k≤1且k≠0，
∴k=-2或k=1．

點評 本題考查了根與系數的關系及根的判別式，關鍵是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反過來也成立．