Question

5．如圖，已知等邊△ABC，延長BC至D，E在AB上，使AE=CD，連接DE，交AC于F點，過E作EG⊥AC于G點．求證：FG=$\frac{1}{2}$AC．

Answer 1

分析 延長GA到點H，使AH=FC，連接HE，可證明△AHE≌△CFD，可知∠H=∠CFD，結(jié)合對頂角可證得EA=EF，可知HG=GF，可證得結(jié)論．

解答 證明：
如圖，延長GA到點H，使AH=FC，連接HE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠HAE=∠FCD=120°，
在△AHE和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠HAE=∠FCD}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AHE≌△CFD（SAS），
∴∠EHA=∠CFD=∠GFE，
∴EH=EF，
∵EG⊥AC，
∴EG=GF，
∵HG=HA+AG=AG+FC，
∴AG+FC=GF，
∴FG=$\frac{1}{2}$AC．

點評 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．