Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=a（x-m）（x-3）與x軸從左到右依次交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，其橫坐標(biāo)為t，AP交y軸于點(diǎn)D，若CD=2t，∠ACB=45°，求a、m的值；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，PA=PQ，點(diǎn)E在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相等，QE⊥AP，若∠PEA=135°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到a（x-m）（x-3）=0，求出x的值，即可求得點(diǎn)B坐標(biāo)．
（2）如圖2中，作AM⊥BC于M．先求出直線AP的解析式為y=-$\frac{3am-2t}{m}$x+3am-2t，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3am-2t}{m}x+3am-2t}\\{y=a（x-m）（x-3）}\end{array}\right.$，消去y得到amx²-（am²+2t）x+2tm=0，
解得x=m或t，推出mt=$\frac{2tm}{am}$，推出am=2，推出點(diǎn)C坐標(biāo)（0，6），由△AMB∽△COB得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{6}{3}$=2，推出AM=2BM，BC=3BM=3$\sqrt{5}$，推出BM=$\sqrt{5}$，AM=2$\sqrt{5}$，推出AB=5，A（-2，0），由此即可解決問題．
（3）如圖3中，作PM⊥AE交AE的延長線于M，設(shè)P（t，-t²+t+6），由PA⊥EQ，推出k_AP•k_EQ=-1，可得方程$\frac{-{t}^{2}+t+6-0}{t+2}$•$\frac{{t}^{2}-4}{-2-2t-2}$=-1，解方程即可．

解答 解：（1）對于拋物線y=a（x-m）（x-3），令y=0得到a（x-m）（x-3）=0，
∴x=3或m，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0）．

（2）如圖2中，作AM⊥BC于M．

由題意C（0，3am），D（0，3am-2t），
∴可得直線AP的解析式為y=-$\frac{3am-2t}{m}$x+3am-2t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3am-2t}{m}x+3am-2t}\\{y=a（x-m）（x-3）}\end{array}\right.$，消去y得到amx²-（am²+2t）x+2tm=0，
解得x=m或t，
∴mt=$\frac{2tm}{am}$，
∴am=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，6），
∵∠ACM=∠CAM=45°，
∴AM=CM，
由△AMB∽△COB得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴AM=2BM，BC=3BM=3$\sqrt{5}$，
∴BM=$\sqrt{5}$，AM=2$\sqrt{5}$，
∴AB=5，A（-2，0），
∴m=-2，a=-1．

（3）如圖3中，作PM⊥AE交AE的延長線于M，設(shè)P（t，-t²+t+6）．

∵PA=PQ，
∴Q（2t+2，0），
∵∠AEP=135°，
∴∠MEP=∠MPE=45°，
∴PM=ME=t+2，
∴E（-2，-t²+4），
∵PA⊥EQ，
∴k_AP•k_EQ=-1，
∴$\frac{-{t}^{2}+t+6-0}{t+2}$•$\frac{{t}^{2}-4}{-2-2t-2}$=-1，
整理得t²-5t+4=0，
∴t=1或4（舍棄），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，6）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，記住兩直線垂直，k的乘積為-1，屬于中考壓軸題．