Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=30°，BC=26cm，CD=8cm，AD=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）當(dāng)t為何值時(shí)（0＜t＜$\frac{26}{3}$），四邊形PQDC是平行四邊形？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于36cm²？
（3）是否存在點(diǎn)P，使△PCD是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)得出PC=26-3t，DQ=16-t，進(jìn)而用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可；
（2）先求出梯形的高DH，再分兩種情況用梯形的面積建立方程求解即可；
（3）分點(diǎn)P是從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中和點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C返回點(diǎn)B時(shí)，每種情況又分點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，BP=3t，AQ=t，
∵BC=26cm，AD=16cm，
∴PC=26-3t，DQ=16-t，
∵四邊形PQDC是平行四邊形，且AD∥BC，
∴PC=DQ，
∴26-3t=16-t，
∴t=5，
即：t=5秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，CD=8，
∴DH=4，CH=4$\sqrt{3}$，
如圖，①當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
由（1）知，PC=26-3t，DQ=16-t，
∵以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于36cm²，
∴S_{四邊形CDQP}=$\frac{1}{2}$（DQ+CP）×DH=$\frac{1}{2}$（16-t+26-3t）×4=36，
∴t=6，②當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)C返回點(diǎn)B時(shí)，
由運(yùn)動(dòng)知，DQ=16-t，CP=3t-26，
∵以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于36cm²，
∴S_{四邊形CDQP}=$\frac{1}{2}$（DQ+CP）×DH=$\frac{1}{2}$（16-t+3t-26）×4=36，
∴t=14，∴當(dāng)t為6秒或14秒時(shí)，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于36cm²；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵△PCD是直角三角形，
Ⅰ、點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，如圖2，
在Rt△CDP中，∠BCD=30°，CD=8，
∴cos30°=$\frac{CD}{CP}$，
∴CP=$\frac{CD}{cos30°}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴26-3t=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，
在Rt△CPD中，∠BCD=30°，CD=8，
∴CP=4$\sqrt{3}$，
∴26-3t=4$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
②當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)C返回點(diǎn)B時(shí)，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，CP=3t-26=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，CP=3t-26=4$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即：△PCD是直角三角形時(shí)，t的值為$\frac{26}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{9}$或$\frac{26}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{26}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{26}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，梯形的面積公式，用方程的思想是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的中考�？碱}．