Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交與第二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．過點(diǎn)A作AH⊥y軸，垂足為H，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-2）．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出在第四象限內(nèi)反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)值時(shí)自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AHO中，通過解直角三角形可求出AH的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)A在第二象限即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△AHO中，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，
∴AH=OH•tan∠AOH=4，
∵點(diǎn)A在第二象限，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，3）．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴k=-4×3=-12，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{12}{x}$．
∵點(diǎn)B（m，-2）在反比例函數(shù)y=-$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴m=-$\frac{12}{-2}$=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，-2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n（m≠0），
將A（-4，3）、B（6，-2）代入y=mx+n中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3=-4m+n}\\{-2=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（2）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：在第四象限內(nèi)當(dāng)0＜x＜6時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，
∴在第四象限內(nèi)反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)值時(shí)自變量的取值范圍為0＜x＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解直角三角形，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．