Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，D是BC邊中點，DE⊥BC交AC于E，動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒$\sqrt{3}$厘米的速度運動，同時動點F從點E出發(fā)沿射線EC運動，且保持PD⊥DF．設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
（1）△PBD與△FED相似嗎？以圖1為例說明理由；
（2）若∠ABC=60°，$AB=4\sqrt{3}$厘米．
①求動點F的速度；
②設(shè)Rt△APF的面積為S平方厘米，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）寫出BP²、PF²、CF²三者之間的數(shù)量關(guān)系，并以圖1為例說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過垂直的定義、直角三角形中的兩個銳角互余以及等量代換，可以證得△PBM與△QNM中的兩個角對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似；
（2）①若BP=3，根據(jù)△PBD∽△FEM的對應(yīng)邊成比例可以求得EF的長，即F一分鐘移動的距離，即點F的速度；
②分別用時間t表示出AP，AF的長，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式．注意需要分類討論：當(dāng)0＜t＜4時，AP=AB-BP=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，AF=AE+EF=AC-EC+EF=12-8+t=4+t，然后由三角形的面積公式可以求得該函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t≥4時，AP=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，AF=4+t，然后由三角形的面積公式可以求得該函數(shù)關(guān)系式；
（3）PF²=BP²+CF²．作輔助線延長FD至點G，使DG=DF．連接PG、BG構(gòu)建平行四邊形BGCF．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知BG∥CF，BG=CF；然后在直角三角形BPG中利用勾股定理求得PG²=BP²+BG²=BP²+CF²；最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)知PF=PG，所以由等量代換證得該結(jié)論．

解答 解：（1）△PBD∽△FED．理由如下：
如圖1，∵DF⊥DP，ME⊥BC（已知），
∴∠PDB+∠PDE=90°，∠FDE+∠PDE=90°，
∴∠PDB=∠FDE，
∵∠PBD+∠C=90°，∠FED+∠C=90°，
∴∠PBD=∠FED，
∴△PBD∽△FED；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8$\sqrt{3}$cm．
又∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD=4$\sqrt{3}$cm．
∵∠C=30°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=4cm；
①設(shè)Q點的運動速度為vcm/s．
如圖1，當(dāng)0＜t＜4時，由（1）知△PBD∽△FED，
∴$\frac{EF}{BP}$=$\frac{DE}{DB}$，即$\frac{vt}{\sqrt{3}t}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴v=1；
如圖2，當(dāng)t≥4時，同理可得v=1．
綜上所述，Q點運動速度為1cm/s．
②∵AE=AC-EC=12-8=4cm，
∴如圖1，當(dāng)0＜t＜4時，AP=AB-BP=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，AF=AE+EF=AC-EC+EF=12-8+t=4+t，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•AF=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）（4+t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+8$\sqrt{3}$；
如圖2，當(dāng)t≥4時，AP=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，AQ=4+t，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•AQ=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$）（4+t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-8$\sqrt{3}$；
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+8\sqrt{3}（0＜t＜4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-8\sqrt{3}（t≥4）}\end{array}\right.$；

（3）PF²=BP²+CF²．
證明如下：如圖1，延長FD至點G，使DG=DF．連接PG、BG，BF，CG
∵BC、GF互相平分，
∴四邊形BGCF為平行四邊形，
∴BG∥CF，BG=CF（平行四邊形的對邊平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBG=90°，
∴PG²=BP²+BG²=BP²+CF²，
∵PD垂直平分GF，
∴PF=PG，
∴PF²=BP²+CF²．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用時間t正確表示出題目中線段的長度是解題的關(guān)鍵．