Question

12．已知y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$（x，y均為實(shí)數(shù)），求當(dāng)x取何值時(shí)，y分別有最大值和最小值．

Answer 1

分析 首先根據(jù)二次根式有意義的條件確定自變量的取值范圍，然后令t=x-3，則-2≤t≤2，得到y(tǒng)=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{2-t}$，從而得到-2＜t＜0時(shí)，y隨著t的增大而增大；當(dāng)0＜t＜2時(shí)y隨著t的增加而減小，最后根據(jù)其單調(diào)性確定最值即可．

解答 解：∵y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$，
∴x-1≥0且5-x≥0，
∴1≤x≤5，
令t=x-3，則-2≤t≤2，
∴y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{2-t}$，
∴當(dāng)-2＜t＜0時(shí)，y隨著t的增大而增大；當(dāng)0＜t＜2時(shí)y隨著t的增加而減小，
∴t=0，即x=3，y_最大值=2$\sqrt{2}$；
t=2和-2，即x=1和5，y_最小值=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無(wú)理函數(shù)的最值，特別是確定自變量的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵，將題目中的等式兩邊平方是解決無(wú)理函數(shù)的一種重要方法，難度偏大．