Question

11．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB與x、y軸分別交于A（a，0），B（0，b），其中a、b滿足$\sqrt{b-6}$=（a+8）²-$\sqrt{6-b}$．
（1）求出線段AB的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作CB⊥AB，且CB=AB，畫(huà)出圖形并求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接AC（點(diǎn)C在第四象限），D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線EF交AC于E，交直線AB于F，連AD，若P是射線AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PF，當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF²-PC²的值是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)求出其范圍；若不變，請(qǐng)求其值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{b-6}$=（a+8）²-$\sqrt{6-b}$，可求a=-8，b=6，進(jìn)而確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A（-8，0），B（0，6），進(jìn)而可得：OA=8，OB=6，然后根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥y軸，垂足為M，根據(jù)AAS可證△ABO≌△BCM，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得：CM=OB=6，BM=OA=8，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸，垂足為N，由D是BC的中點(diǎn)，可得DN是△BCM的中位線，進(jìn)而可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法分別求出直線AB，直線AC，直線AD，直線EF的關(guān)系式，然后由點(diǎn)F是直線AB與直線EF的交點(diǎn)，將直線AB與直線EF的關(guān)系式聯(lián)立方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)P（x，y），然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可表示PF²-PC²，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{b-6}$=（a+8）²-$\sqrt{6-b}$，
且b-6≥0，6-b≥0，
∴b=6，
∴（a+8）²=0，
∴a=-8，
∴A（-8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥y軸，垂足為M，如圖所示2，
∵CB⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵CM⊥y軸，
∴∠BMC=90°，
∴∠BMC=∠AMB，
在△ABO和△BCM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{∠CMB=∠BOA}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BCM（AAS），
∴CM=OB=6，BM=OA=8，
∴OM=BM-BO=8-6=2，
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴C（6，-2）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF²-PC²的值不發(fā)生改變．
過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸，垂足為N，如圖3，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DN是△BCM的中位線，
∴DN=$\frac{1}{2}$MC=3，BN=$\frac{1}{2}$BM=4，
∴ON=OB-BN=6-4=2，
∴D（3，2），
設(shè)直線AB的關(guān)系式為：y_AB=kx+b，
將A（-8，0），B（0，6）代入上式得：
k=$\frac{3}{4}$，b=6，
∴y_AB=$\frac{3}{4}$x+6，
設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y_AC=kx+b，
將A（-8，0），C（6，-2）代入上式得：
k=$-\frac{1}{7}$，b=-$\frac{8}{7}$，
∴y_AC=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{8}{7}$，
設(shè)直線AD的關(guān)系式為：y_AD=kx+b，
將A（-8，0），D（3，2）代入上式得：
k=$\frac{2}{11}$，b=$\frac{16}{11}$，
∴y_AD=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，
∵EF⊥AC，
∴設(shè)直線EF的關(guān)系式為：y_EF=7x+b，
∵D點(diǎn)在直線EF上，
∴將D（3，2）代入y_EF=7x+b，得：b=-19，
∴y_EF=7x-19，
將直線AB與直線EF的關(guān)系式聯(lián)立方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+6}\\{y=7x-19}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴F（4，9），
設(shè)P（x，y），
∵PF²=（x-4）²+（y-9）²，PC²=（x-6）²+（y+2）²，
∴PF²-PC²=4x-22y+57，
∵P（x，y）在直線AD上，
將P（x，y）代入y_AD=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，得：
y=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，
將y=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，代入PF²-PC²=4x-22y+57，得：
∴PF²-PC²=4x-22y+57=4x-22（$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$）+57=25．
∴當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF²-PC²的值不發(fā)生改變，PF²-PC²的值是25．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，熟記兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．注意：若已知兩點(diǎn)A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），則|AB|=$\sqrt{{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．