Question

10．如圖，已知點P在拋物線y=$\frac{1}{8}$x²上，點F（0，2）在y軸上，直線l：y=-2與y軸交于點H，PM⊥l于M
（1）如圖1，若點P的橫坐標(biāo)為6，則PF=$\frac{13}{2}$，PM=$\frac{13}{2}$；
（2）當(dāng)∠FPM=60°時，求P點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點T為拋物線上任意一點（原點O除外），直線TO交l于點G，過點G作GN⊥l，交拋物線于點N，求證：直線TN一定經(jīng)過點F（0，2）．

Answer 1

分析 （1）首先求出點P坐標(biāo)，利用兩點之間距離公式即可解決問題．
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{8}$x²），分別求出P點到F點的距離和到直線L的距離，即可證明PF=PM．
（3）先設(shè)出點T坐標(biāo)，確定出點N坐標(biāo)，進而得出直線TN解析式，即可解決問題．

解答 解：（1）∵點P在拋物線y=$\frac{1}{8}$x²上，
x=6時，y=$\frac{9}{2}$，
∴點P坐標(biāo)（6，$\frac{9}{2}$），
∵F（0，2），
∴PF=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{9}{2}-2）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∵點M在直線y=-2上，
∴PM=$\frac{9}{2}$+2=$\frac{13}{2}$，
故答案為$\frac{13}{2}$，$\frac{13}{2}$．

（2）如圖1中，作FH⊥PM于H，設(shè)P點坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{8}$m²），則PF=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{8}{m}^{2}-2）^{2}}$=2+$\frac{1}{8}$m²，

∵PM=2+$\frac{1}{8}$m²，
∴PF=PM，
∵∠FPM=60°，
∴△PFM是等邊三角形，
∵FP=FM，F(xiàn)H⊥PM，
∴PH=HM=4，
∴點P的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y=6時，6=$\frac{1}{8}$x²，
∴x=±4$\sqrt{3}$，
∴點P坐標(biāo)為（-4$\sqrt{3}$，6）或（4$\sqrt{3}$，6）．

（3）證明：如圖2中，設(shè)點T（m，$\frac{1}{8}$m²），

∴直線TO解析式為y=$\frac{m}{8}$x，
∵直線y=-2平行x軸，
令y=-2，則x=-$\frac{16}{m}$，
∴直線TO與l交于G（-$\frac{16}{m}$，-2），
∵NG⊥l，l∥x軸，
∴N橫坐標(biāo)為-$\frac{16}{m}$，
∵點N在拋物線上，
∴N（-$\frac{16}{m}$，$\frac{32}{{m}^{2}}$）
設(shè)直線TN解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=\frac{1}{8}{m}^{2}}\\{-\frac{16}{m}•k+b=\frac{32}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{{m}^{2}-16}{8m}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直線TN解析式為y=$\frac{{m}^{2}-16}{8m}$x+2，
∴直線TN一定經(jīng)過點F（0，2）．

點評 題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，直角三角形的性質(zhì)，判斷點是否在直線上，解本題的關(guān)鍵是證明PF=PM，確定出直線TN的解析式是解本題的難點，屬于中考壓軸題．