Question

11．已知A（1，2），B（m，$\frac{1}{2}$）是雙曲線上的點．
求：（1）過點A，B的雙曲線解析式；
（2）過點A，B的直線方程；
（3）過點A，B兩點且與x軸有且只有一個交點的拋物線解析式；
（4）（i）已知n＞0，代數(shù)式n+$\frac{4}{n}$由配方法可得n+$\frac{4}{n}$=（$\sqrt{n}$-$\frac{2}{\sqrt{n}}$）²+4，則代數(shù)式n+$\frac{4}{n}$的最小值是4．
（ii）若P為雙曲線AB段上的任意一點，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)反比例解析式為y=$\frac{k}{x}$，把A坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式即可；
（2）把B坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值確定出B坐標(biāo)，設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，把A與B坐標(biāo)代入求出m與n的值，即可確定出直線AB解析式；
（3）若頂點在x軸上，則該拋物線與x軸有且只有一個交點，設(shè)拋物線為y=a（x-h）²，把A與B坐標(biāo)代入求出a與h的值，即可確定出滿足題意的拋物線解析式；
（4）（i）根據(jù)配方的結(jié)果，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出所求式子的最小值即可；
（ii）如圖，設(shè)P（m，$\frac{2}{m}$）為雙曲線上AB段的任意一點，過點P作PQ∥y軸交AB于點Q，表示出Q坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PQ的長，表示出S與m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)反比例解析式為y=$\frac{k}{x}$，
把點A（1，2）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，得：2=$\frac{k}{1}$，即k=2，
則過點A、B的雙曲線為y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵點B（m，$\frac{1}{2}$）在雙曲線為y=$\frac{2}{x}$上，
∴m=4，即B（4，$\frac{1}{2}$），
設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，
把A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{4m+n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{2}$，n=$\frac{5}{2}$，
則過點A、B的直線方程y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（3）設(shè)拋物線為y=a（x-h）²，
把點A、B代入得$\left\{\begin{array}{l}{a（h-1）^{2}=2}\\{a（h-4）^{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{18}$，h=7或a=$\frac{1}{2}$，h=3，
則過點A，B兩點且與x軸有且只有一個交點的拋物線解析式為y=$\frac{1}{18}$（x-7）²或y=$\frac{1}{2}$（x-3）²；
（4）（i）∵n＞0，
∴n+$\frac{4}{n}$=（$\sqrt{n}$-$\frac{2}{\sqrt{n}}$）²+4≥4，
則代數(shù)式n+$\frac{4}{n}$的最小值是4；
故答案為：4；
（ii）如圖，設(shè)P（m，$\frac{2}{m}$）為雙曲線上AB段的任意一點，
過點P作PQ∥y軸交AB于點Q，則Q（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{m}$，
∴S=$\frac{15}{4}$-$\frac{3}{m}$-$\frac{3m}{4}$=$\frac{15}{4}$-3（$\frac{1}{m}$+$\frac{m}{4}$）≤$\frac{15}{4}$-3=$\frac{3}{4}$，
則△PAB的面積的最大值是$\frac{3}{4}$．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求反比例解析式及一次函數(shù)解析式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．