Question

16．已知a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊（a＞b），關(guān)于x的方程x²-2（a+b）x+2ba+c²=0有兩等根，∠A、∠B的正弦是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根，若△ABC最長邊為10，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 先根據(jù)方程有兩相等的實數(shù)根可判斷出△ABC是直角三角形，再根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系及sinA，sinB是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根可得出sinA+cosA=$\frac{2m-5}{m+5}$，sinAcosA=$\frac{m-8}{m+5}$，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出m的值，先根據(jù)三角形外接圓的面積求出其半徑及直徑的長，進(jìn)而可得出sinA=$\frac{3}{5}$或$\frac{4}{5}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵關(guān)于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，即a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，sinB=sin（$\frac{π}{2}$-A）=cosA，
∵sinA，sinB是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根，
∴sinA+cosA=$\frac{2m-5}{m+5}$，sinAcosA=$\frac{m-8}{m+5}$，
∵sin²A+cos²A=1，
∴m₁=20，m₂=4，
又∵sinA＞0，cosA＞0，
∴m=20，
∵△ABC最長邊為10，
∴c=10由（1）可得sinA=$\frac{3}{5}$或$\frac{4}{5}$，
∴直角邊分別為6，8，
∴△ABC的周長=24．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到根的判別式、勾股定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系及三角形的外接圓，涉及面較廣，難度較大．