Question

7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，D是BC邊上一點(diǎn)，直線ED⊥BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，CF∥AB交直線DE于點(diǎn)F，設(shè)CD=x
（1）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$？

Answer 1

分析 （1）首先證明∠B=30°，四邊形AEFC是平行四邊形，當(dāng)AC=AE=2時(shí)，四邊形AECF是菱形，推出AE=EB=2，由ED∥AC，推出CD=BD=$\sqrt{3}$；
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，S_{四邊形AEDC}=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，推出S_△BDE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，推出$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-x）•$\frac{2\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解方程即可；

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠B=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴AC∥EF，∵CF∥AE，
∴四邊形AEFC是平行四邊形，
∴AC=AE=2時(shí)，四邊形AECF是菱形，
∴AE=EB=2，
∵ED∥AC，
∴CD=BD=$\sqrt{3}$，
∴x=$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形AEFC是菱形．

（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，S_{四邊形AEDC}=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BDE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-x）•$\frac{2\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得x=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$ 或2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$（舍棄），
∴x=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．