Question

13．如圖，E是?ABCD的邊BC的中點，AC⊥AB，∠B=60°．則下列結(jié)論中正確的是①②④．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）
①AD=2AB；②DF平分∠ADC；③S_△ADE=2S_△CDF；④AE⊥DE．

Answer 1

分析 由E是?ABCD的邊BC的中點，AC⊥AB，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，又由∠B=60°，可證得△ABE是等邊三角形，即可證得AD=2AB；易求得∠CDA=∠B=60°，則可得DF平分∠ADC，由BE=CE，AD∥BC，可得S_△ABE=S_△DEC，然后由等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，求得S_△ADE=$\frac{3}{2}$S_△CDF；易得∠DAE=∠AEB=60°，∠ADE=30°，證得∠AED=90°．

解答 解：∵E是?ABCD的邊BC的中點，AC⊥AB，
∴AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE，
∴BC=2AB；故①正確；
∵∠B=60°，
∴∠ECD=120°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=30°，
∵∠CDA=∠B=60°，
∴DF平分∠ADC，故②正確；
∵BE=CE，AD∥BC，
∴S_△ABE=S_△DEC，
∵∠ACE=∠DEC=30°，
∴EF=CF，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∴EF=CF=$\frac{1}{2}$AF，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$S_△ADF，S_△CDF=S_△AEF，
∴S_△ADE=$\frac{3}{2}$S_△CDF；故③錯誤；
∵∠DAE=∠AEB=60°，∠ADE=30°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例以及等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比．