Question

7．【原題】
如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AB于點(diǎn)D（BD＞AD），求證：BC-AC=BD-AD．
【嘗試探究】
在圖1中過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，連接OC，因?yàn)椤螧AC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，所以O(shè)D=OE=OF，所以CO是∠ACB的平分線，BD=所以利用全等三角形的性質(zhì)可得BD=BE，AD=AF，CE=CF，所以BC-AC=BD-AD
【類比延伸】
如圖2，在四邊形ABCD中，各角的平分線交于點(diǎn)O，試判斷AB，BC，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 嘗試探究：過點(diǎn)O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OC，由角平分線的性質(zhì)得到0D=OE=OF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
類比延伸；．過O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，由角平分線的性質(zhì)得到OE=OF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=BF，CF=CM，DM=DN，AN=AE，于是得到AB+CD=AD+BC．

解答 解：嘗試探究：如圖1
過點(diǎn)O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OC，
∵OD⊥AB，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，
∴0D=OE=OF，CO是∠ACB的平分線，
在Rt△ADO與Rt△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AFO（HL），
∴AD=AF，
同理BD=BE，CF=CE，
∴BC-AC=BE+CE-AF-CF=BE-AF=BD-AD；

類比延伸；AB+CD=AD+BC．
如圖2過O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，
∵BO平分∠ABC，
∴OE=OF，
在Rt△BOE與Rt△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
Rt△BOE≌Rt△BOF（HL），
∴BE=BF，
同理CF=CM，DM=DN，AN=AE，
∴AB+CD=AE+BE+CM+DM，
AD+BC=AN+BF+CF+DN，
∴AB+CD=AD+BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．