Question

15．拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對(duì)稱軸為x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；
（2）如圖，連接AC并延長(zhǎng)交對(duì)稱軸于P，則點(diǎn)P即為P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，根據(jù)已知條件得到直線AC的解析式為：y=-3x-3，由P在對(duì)稱軸上，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)M（x₁，y），N（x₂，y），圓的半徑為r，根據(jù)題意得到x₂-x₁=2r，①根據(jù)對(duì)稱軸為x=1，得到x₁+x₂=2，②聯(lián)立方程組得到x₂=r+1，將N（r+1，y）代入y=x²-2x-3得到y(tǒng)=r²-4，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸為x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{-\frac{2a}=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；
（2）存在，如圖，連接AC并延長(zhǎng)交對(duì)稱軸于P，
則點(diǎn)P即為P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴A（-1，0），
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴直線AC的解析式為：y=-3x-3，
∵P在對(duì)稱軸上，
∴P（1．-6）；
（3）設(shè)M（x₁，y），N（x₂，y），圓的半徑為：r，則x₂-x₁=2r，①
∵對(duì)稱軸為x=1，
∴x₁+x₂=2，②
由①，②得，
x₂=r+1，
將N（r+1，y）代入y=x²-2x-3得，y=r²-4，
∵r=|y|，
∴當(dāng)y＞0時(shí)，r²-r-4=0，
∴r₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，r₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
當(dāng)y＜0時(shí)，r²+r-4-0，
∴r³=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，r₄=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴圓的半徑為：$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓與直線的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．