Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為a的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，求點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離．

Answer 1

分析 由題意得到當(dāng)OA=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形時(shí)，OC最大，畫出相應(yīng)的圖形，連接OC，交AB與點(diǎn)D，由對稱性得到OC垂直于AB，利用三線合一得到D為AB的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半表示出OD的長，在直角三角形BCD中，利用勾股定理表示出CD的長，由OD+DC即可求出OC的長．

解答 解：由題意得：當(dāng)OA=OB時(shí)，連接OC，可得OC最大，如圖所示，
由對稱性可得OC⊥AB，
∵△AOB為等腰直角三角形，AB=a，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△BCD中，BC=a，BD=$\frac{1}{2}$a，
根據(jù)勾股定理得：CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
則OC=OD+DC=$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離是$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點(diǎn)評 此題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．