Question

1．如圖，BD=CD 

（1）如圖（1），若AD平分∠BAC的外角．①求證：∠ABD=∠ACD；②試探究∠BAD與∠BCD的關(guān)系并證明．
（2）如圖（2），若∠ADB=∠ACB，求證：AD平分∠BAC外角．

Answer 1

分析 （1）①作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DN，證明Rt△BDM≌Rt△CDN，得到答案；
②根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCB=∠DBC，證明結(jié)論．

解答 證明：（1）①作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵若AD平分∠BAC的外角，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠ABD=∠ACD；
②∵∠ABD=∠ACD，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）∵∠ADB=∠ACB，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠EAD=∠DCB，
∠DAC=∠DBC，
∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠EAD=∠DAC
∴AD平分∠BAC外角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．