Question

5．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c．
（1）利用三角函數(shù)的定義及勾股定理，求證：sin²A+cos²A=1；
（2）請你探究sinA，cosA與tanA之間的關(guān)系；
（3）已知$\frac{sinα+cosα}{2sinα+cosα}$=$\frac{2}{3}$，利用第（2）的結(jié)論可得tanα的值為1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可以表示出sinA、cosA，根據(jù)勾股定理得到三邊的關(guān)系，從而可以證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可以分別表示出sinA、cosA、tanA，從而可以得到它們之間的關(guān)系；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論可以得到tanα的值．

解答 （1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，
∴sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$，a²+b²=c²．
∴$si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{^{2}}{{c}^{2}}=\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}=1$．
即sin²A+cos²A=1．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，
∴sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$，tanA=$\frac{a}$．
∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{c}}=\frac{a}=tanA$．
即sinA，cosA與tanA之間的關(guān)系是：tanA=$\frac{sinA}{cosA}$．
（3）解：∵$\frac{sinα+cosα}{2sinα+cosα}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{cosα}}{2×\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{cosα}}=\frac{tanα+1}{2tanα+1}=\frac{2}{3}$．
解得，tanα=1．
故答案為：1．

點評 本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確銳角三角函數(shù)，找出所求問題需要的條件．