Question

18．如圖1，△AHC中，∠AHC=90°，將△AHC繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BHD（點(diǎn)B、D分別是點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若BC=4，tanC=3．
（1）求線段CH的長；
（2）將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF（點(diǎn)B，D分別于點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)）
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AC上時(shí)，連接AE，分別求CF和AE的長；
②如圖3，當(dāng)△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)AH=BH=x，根據(jù)BC=4，tanC=3，可得$\frac{4-x}{x}$=3，解方程即可；
（2）①如圖，作HP⊥AE于P，HJ⊥AC于J．根據(jù)△EHA∽△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，分別在Rt△APH，Rt△CHJ中解直角三角形即可．
②先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到 $\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{CQ}{HQ}$，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

解答 解：（1）∵△BDH是由△AHC旋轉(zhuǎn)所得，
∴BH=AH，設(shè)BH=AH=x，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=$\frac{CH}{AH}$=3，
∴$\frac{4-x}{x}$=3，
解得x=3，
∴CH=1．

（2）①如圖，作HP⊥AE于P，HJ⊥AC于J．

由旋轉(zhuǎn)知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，
∴∠EHA=∠FHC，$\frac{EH}{AH}$=$\frac{FH}{HC}$=1，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH=∠C，
∴tan∠EAH=tanC=3，
∴HP=3AP，AE=2AP，
在Rt△AHP中，AP²+HP²=AH²，
∴AP²+（3AP）²=9，
∴AP=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
易知四邊形APHJ是矩形，
∴HJ=AP=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵HF=HC=1，HJ⊥CF，
∴CJ=FJ=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴CF=$\frac{2\sqrt{10}}{10}$．

②如圖1，

∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由①有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴點(diǎn)C，H，G，A四點(diǎn)共圓，
∴∠CGH=∠CAH，
設(shè)CG與AH交于點(diǎn)Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴$\frac{AC}{HG}$=$\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，
∴EF=BD，
由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC
∴$\frac{EF}{HG}$=$\frac{AC}{GH}$=$\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{1}{sin30°}$=2．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)的意義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)和判定的運(yùn)用．