Question

8．如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后解答相應(yīng)問題．
畫法：①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．
（1）求證：△C′D′E′是等邊三角形；
（2）求作：內(nèi)接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，且DE：EF=1：2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可證得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根據(jù)相似可證得對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，即可根據(jù)對應(yīng)邊的比成比例且夾角相等的三角形相似，可證得△CDE∽△C′D′E′，即可得結(jié)果；
（2）類似（1）的作法．

解答 （1）證明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，
∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O，
∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′，
∵△CDE是等邊三角形，
∴△C′D′E′是等邊三角形；

（2）解：畫法：①在△ABC內(nèi)畫矩形D′E′F′G′，使點(diǎn)D′在AB上，點(diǎn)G′在AC上，且D′E′：D′G′=1：2；
②連接A E′并延長，交BC于點(diǎn)E，連接A F′并延長交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作ED∥E′D′交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FG∥F′G′，交AC于點(diǎn)G；
③連接DG，則矩形DEFG是△ABC的內(nèi)接四邊形．

點(diǎn)評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及位似圖形的性質(zhì)，利用相似圖形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．