Question

13．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+n（m＜0）的頂點為A，與x軸交于B，C兩點（點B在點C左側(cè)），與y軸正半軸交于點D，連接AD并延長交x軸于E，連AC、DC．S_△DEC：S_△AEC=3：4．
（1）求點E的坐標；
（2）△AEC能否為直角三角形？若能，求出此時拋物線的函數(shù)表達式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出EO：OF=3：1，進而得出EO的長即可得出答案；
（2）由題意可知，AE，AC不可能與x軸垂直，再得出△EFA∽△AFC，求出m的值，進而得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：設(shè)此拋物線對稱軸與x軸交于點F，
∴S_△DEC：S_△AEC=DO：AF=3：4，
∵DO∥AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴EO：EF=DO：AF=3：4，
∴EO：OF=3：1，
由y=mx²-2mx+n（m＜0）得：A（1，n-m），D（0，n），
∴OF=1，
∴EO=3，
∴E（-3，0）；

（2）∵DO：AF=3：4，
∴$\frac{n}{n-m}$=$\frac{3}{4}$，
∴n=-3m，
∴y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）
=m（x-3）（x+1），
∴B（-1，0），C（3，0），A（1，-4m），
由題意可知，AE，AC不可能與x軸垂直，
∴若△AEC為直角三角形，則∠EAC=90°，
又∵AF⊥EC，可得△EFA∽△AFC，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{CF}$，即$\frac{4}{-4m}$=$\frac{-4m}{2}$，
∵m＜0，
∴m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²+$\sqrt{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確表示出n，m的關(guān)系是解題關(guān)鍵．