Question

12．如圖，點M（4，0），以點M為圓心，2為半徑的圓與x軸交于點A、B，已知拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c過點A和B，與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象．
（2）點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PC-PA的最大值．
（3）CE是過點C的⊙M的切線，E是切點，CE交OA于點D，求OE所在直線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得C點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得PC-PA＜CA，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DO=DE，DC=DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，可得∠MCE=∠CEO，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由題意，得
A（2，0），B（6，0）．
將A，B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}×{2}^{2}+2b+c=0}\\{\frac{1}{6}×{6}^{2}+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y═$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，
當(dāng)x=0時，y=2，即C點坐標(biāo)為（0，2），
圖象如圖1，

（2）由三角形的兩邊之差小于第三邊，得
PC-PA＜CA，
當(dāng)時P，A，C在同一條直線上時，PC-PA=AC$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即PC-PA的最大值是2$\sqrt{2}$；

（3）如圖2，
連接MC，ME，
∵CE是過點C的⊙M的切線，E是切點，
∴∠MED=∠COD=90°．
在△CDO和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C0D=∠MED}\\{∠CDO=∠MDE（對頂角相等）}\\{OC=ME=2}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△MED（AAS），
DO=DE，DC=DM，
∠DEO=∠DOE，∠MCD=∠CMD．
∵∠DEO=$\frac{180°-∠ODE}{2}$，∠MCD=$\frac{180°-∠CDM}{2}$，
∴∠MCE=∠CEO，
∴CM∥OE，
∵直線CM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直線OE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用三角形三邊的關(guān)系得出PC-PA＜CA，解（3）的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出DO=DE，DC=DM，又利用了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定與性質(zhì)．