Question

17．在?ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)E，AC⊥BC，AB=8，∠ABC=30°，
（1）求BD的長．
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿B-A-D的路線以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C-D的路線以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)C時，另一點(diǎn)也停止移動，當(dāng)t取何值時，線段PQ將平行四邊形ABCD的面積分為相等的兩部分？

Answer 1

分析 （1）首先在Rt△ABC中，求出AC、BC，再在Rt△BOC中求出BO即可解決問題；
（2）易知當(dāng)P在AB上，PA=CQ時，直線PQ將平行四邊形ABCD的面積分成面積相等的兩部分，由此列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖設(shè)A 與BD交于點(diǎn)O．
∵AC⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∵AB=8，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4．BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=2，OB=OD，
在Rt△BOC中，OB=$\sqrt{B{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴BD=4$\sqrt{13}$．

（2）易知當(dāng)P在AB上，PA=CQ時，直線PQ將平行四邊形ABCD的面積分成面積相等的兩部分，
∴8-2t=t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
∴t=$\frac{8}{3}$s時，直線PQ將平行四邊形ABCD的面積分成面積相等的兩部分．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程，屬于中考�？碱}型．