Question

10．如圖，△ABC為等邊三角形，D、E是BC、AC邊上的點，且BD=CE，線段AD、BE交于F，
（1）求∠AFE的度數(shù)；
（2）若作EG⊥AD，G為垂足，且FG=3，BF=1，求AD的長；
（3）如果D、E分別在BC、CA的延長線上，且仍有BD=CE，請?zhí)骄緽E、AD所在直線夾的銳角的度數(shù)是否是定值，請畫圖說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，又∠AFE=∠ABF+∠BAD=∠ABC，所以∠AFE=60°；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)求出EB=1+6=7，根據(jù)△ABD≌△BCE，得到AD=BE，即可解答．
（3）是定值，仍為60°，證明△ABE≌△ACD，得到∠E=∠D，利用外角的性質(zhì)得到∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠DAC=∠ACB=60°．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠BCE}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE．
又∵∠AFE=∠ABF+∠BAD=∠ABC
∴∠AFE=60°．
（2）∵EG⊥AD，∠AFE=60°，
∴∠FEG=30°，
∴EF=2FG=6，
∵BF=2，
∴EB=1+6=7，
∵△ABD≌△BCE，
∴AD=BE，
∴AD=7．
（3）是定值，仍為60°，如圖．

∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．
∴∠BAE=∠ACD=120°，
∵BD=CE，
∴BD-BC=CE-AC，
即CD=AE，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AC}\\{∠BAC=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠E=∠D．
∴∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠DAC=∠ACB=60°．

點評 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等量代換及轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．