Question

4．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，
（1）求證：△COD是等邊三角形
（2）當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，得出三角形COD是等邊△OCD；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分別假設(shè)AO=AD，OA=OD，OD=AD，從而求出α．

解答 解：（1）∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；

（2）∵∠AOC=360°-110°-α=250°-α，∠AOD=∠AOC-60°=190°-α，
∵∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ODA=α-60°，
△AOD為等腰三角形，
當(dāng)AO=OD時，∠AOD+2∠ODA=180°，
即190°-α+2×（α-60°）=180°，解得α=110°，
當(dāng)AO=AD時，∠AOD=∠ODA，即190°-α=α-60°，解得α=125°，
當(dāng)OD=AD時，2×（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°
所以當(dāng)α為110°、125°、140°時，△AOD是等腰三角形．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不變是解決問題的關(guān)鍵．