Question

19．中國古代對勾股定理有深刻的認(rèn)識．
（1）三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽第一次對勾股定理加以證明：用四個(gè)全等的圖1所示的直角三角形拼成一個(gè)圖2所示的大正方形，中間空白部分是一個(gè)小正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，求（ a+b）²的值．
（2）清朝的康熙皇帝對勾股定理也很有研究，他著有《積求勾股法》：用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是：若直角三角形的三邊長分別為3，4，5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則求其邊長的方法為：第一步$\frac{s}{6}$=m；第二步：$\sqrt{m}$=k；第三步：分別用3，4，5乘以k，得三邊長．當(dāng)面積S等于150時(shí)，請用“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理可以求得a²+b²等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）²=a²+2ab+b²即可求解；
（2）先由題中所給的條件找出字母所代表的關(guān)系，然后套用公式解題．

解答 （1）解：根據(jù)勾股定理可得a²+b²=13，
四個(gè)直角三角形的面積是：$\frac{1}{2}$ab×4=13-1=12，即：2ab=12
則（a+b）²=a²+2ab+b²=13+12=25，即（a+b）²=25．

（2）當(dāng)S=150時(shí)，k=$\sqrt{m}$=$\sqrt{\frac{S}{6}}$=$\sqrt{\frac{150}{6}}$=$\sqrt{25}$=5，
所以三邊長分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25，
所以，這個(gè)直角三角形的三邊長為15，20，25．

點(diǎn)評 本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得a²+b²和ab的值是關(guān)鍵．（2）題信息量較大，解答此類題目的關(guān)鍵是要找出所給條件，然后解答．