Question

10．（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A在△ABC外引一直線l，分別過(guò)點(diǎn)B、C作直線l的垂線，垂足分別為D、E，求證：BD+CE=DE．
（2）若直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABC的內(nèi)部如圖2，其他條件不變，BD、CE與DE之間又存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由垂線的定義和角的互余關(guān)系得出∠BDA=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對(duì)應(yīng)邊相等BD=AE，AD=CE，由AD+AE=DE，即可得出結(jié)論；
（2）由垂線的定義和角的互余關(guān)系得出∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對(duì)應(yīng)邊相等BD=AE，AD=CE，由AE+DE=AD，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA=90°}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+AE=DE，
∴BD+CE=DE；
（2）BD=DE+CE．
理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，AD=CE．
∵AD+DE=AE，
∴BD=DE+CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義、角的互余關(guān)系，證得△ABD≌△CAE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．