Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（-1，-1），半徑為$\sqrt{2}$，點Q是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上一動點，過點Q作⊙P的切線QT，切點為T，則線段QT長度的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 4

Answer 1

分析 連接PT、PQ，由切線的性質(zhì)可知△QTP為直角三角形，由PT為定值可知當QP有最小值時，線段QT長度的值最�。�

解答 解：連接PT、PQ．

∵QT是⊙P的切線，
∴QT⊥PT．
∴QT=$\sqrt{Q{P}^{2}-T{P}^{2}}$．
設點Q的坐標為（x，$\frac{1}{x}$）．
則QT=$\sqrt{（x+1）^{2}+（\frac{1}{x}+1）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}}$
當x=$\frac{1}{x}$時，$\sqrt{{x}^{2}+2x+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}}$有最小值．
解得：x=±1．
∵點Q為與第一象限，
∴x=1．
∴線段QT長度的最小值=$\sqrt{{1}^{2}+2×1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{2}{1}}$=$\sqrt{6}$．
故選：C．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理的應用，明確當x=$\frac{1}{x}$時線段QT長度存在最小值是解題的關鍵．