Question

10．我們知道，任何一個三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點．如圖，若△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點I，過I作DE⊥AI分別交AB、AC于點D、E．
（1）請你通過計算，填寫表格．
（2）從表中你發(fā)現(xiàn)了∠BIC與∠BDI之間有何數(shù)量關(guān)系，請寫出來，并說明其中的道理，它們的關(guān)系是∠BIC=∠BDI．

∠BAC的度數(shù)	60°	100°
∠BIC的度數(shù)	120°	140°
∠BDI的度數(shù)	120°	140°

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線定義得到∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再利用三角形內(nèi)角和定理得∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
所以∠BIC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，接著根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，于是有∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；然后把∠BAC=60°和100°分別代入計算即可．

解答 解：∵△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點I，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BIC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AI⊥DE，
∴∠AID=90°，
而AI平分∠DAE，
∴∠DAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
當(dāng)∠BAC=60°時，∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°；
當(dāng)∠BAC=100°時，∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$×100°=140°．
（1）答案為120°，140°，120°，140°；
（2）∠BIC=∠BDI．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．準(zhǔn)確識別圖性是解題的關(guān)鍵．