Question

17．如圖所示，點D，E是等邊△ABC的BC，AC上的點，且CD=AE，AD，BE相交于P點，BQ⊥AD．已知PE=1，PQ=3，求AD的長度．

Answer 1

分析 根據(jù)SAS即可證得△ABE≌△ADC，得出∠CAD=∠ABE，BE=AD，從而求得∠BPD=∠APE=∠BAC=60°進而得出∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得BP的長，最后計BE的長即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵等邊△ABC，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AE}\\{∠ACD=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠CAD=∠ABE，BE=AD，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠BAC=60°，
即∠BPD的度數(shù)為60°，
∵BQ⊥AD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PB=2PQ=6，
∵PE=1，
∴PE=6+1=7，
∴AD=7．

點評 本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，全等三角形的判定等，解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，全等三角形對應(yīng)角相等，求證∠APE=∠BAC是解題的關(guān)鍵．