Question

17．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=8cm，BC=10cm．點(diǎn)E是線段BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩端點(diǎn)），連結(jié)AE，作∠AED=∠B，交線段AB于點(diǎn)D．
（1）求證：△BDE∽△CEA；
（2）設(shè)BE=x，AD=y，請(qǐng)寫(xiě)y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）E點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ADE能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BDE=∠CEA，∠B=∠C證得結(jié)論；
（2）利用（1）中相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式$\frac{BD}{EC}$，則把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可列出y與x的關(guān)系式．注意自變量x的取值范圍要注明；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形的邊角關(guān)系知AE≠AD．所以當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)AE=DE時(shí)，△BDE≌△CEA；②當(dāng)DA=DE時(shí)，△BAE∽△BCA．所以根據(jù)全等三角形和相似三角形的性質(zhì)來(lái)求線段BE的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）解：∵△BDE∽△CEA，
∴$\frac{BD}{EC}$=$\frac{BE}{AC}$，
即 $\frac{8-y}{10-x}$=$\frac{x}{8}$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x+8（0＜x＜8），


（3）解：∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①當(dāng)AE=DE時(shí)，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=8cm；
②當(dāng)DA=DE時(shí)，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{BE}{BA}$，
即：$\frac{8}{10}$=$\frac{BE}{8}$，
∴BE=$\frac{32}{5}$cm，
∴△ADE為等腰三角形時(shí)，BE=6cm或 $\frac{32}{5}$cm

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）題時(shí)，要分類(lèi)討論，以防漏解．