Question

5．如圖Rt△ABC，AC=BC=8，正方形DEFG的邊長為2，把正方形DEFG按如圖1位置擺放（點E與點B重合，其中F、E、B、C在同一直線上）．M為線段AC的中點，正方形DEFG按如圖1的起始位置沿射線BM的方向以每秒$\sqrt{5}$個單位長度的速度勻速移動，設移動的時間為t秒．當點F在線段AC上時，正方形DEFG停止移動（如圖2）．

（1）正方形DEFG移動多少秒時，點D在線段AB上；
（2）在移動過程中，正方形DEFG和△ABM重疊部分的面積為S，請直接寫出面積S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當點F在AC上時，將正方形DEFG沿CA平移至點G與點A重合，將正方形DEFG繞點A旋轉，在旋轉過程中，設直線DE交射線BA于點P，交射線BC于點Q，當△BPQ為等要直角三角形時，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)DE∥AM，可得△BDE∽△BAM，所以$\frac{BE}{BM}=\frac{DE}{AM}$，據(jù)此求出BE的值；然后用BE的值除以正方形DEFG運動的速度，求出正方形DEFG移動多少秒時，點D在線段AB上即可．
（2）根據(jù)題意，分3種情況：①當0≤t≤2時；②當2＜t≤4時；③當4＜t≤5時，求出面積S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍即可．
（3）根據(jù)題意，分4種情況：①當旋轉角為0°時；②當旋轉角為45°時；③當旋轉角為180°時；④當旋轉角為225°時；分類討論，求出BP的長是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，，
∵Rt△ABC，AC=BC=8，M為線段AC的中點，
∴AM=CM=8÷2=4，
再Rt△BCM中，
BM=$\sqrt{{BC}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∵DE∥AM，
∴△BDE∽△BAM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{DE}{AM}$，
∴$\frac{BE}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{4}$，
解得BE=2$\sqrt{5}$，
∴t=2$\sqrt{5}÷\sqrt{5}$=2，
即正方形DEFG移動2秒時，點D在線段AB上．

（2）①當0≤t≤2時，如圖2，DE交AB于點P，EF交AB于點Q，作MN∥BC交AB于點N，，
∵MN∥BC，M為線段AC的中點，
∴N為線段AB的中點，
∴MN為△ABC的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵DE∥AM，
∴△BPE∽△BAM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{PE}{AM}$，
∴$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}=\frac{PE}{4}$
解得PE=t．
∵EF∥MN，
∴△BEQ∽△BMN，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{EQ}{MN}$，
∴$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}=\frac{EQ}{4}$，
解得EQ=t，
∴S=$\frac{1}{2}PE•EQ$=$\frac{1}{2}$t•t=$\frac{1}{2}$t²．

②當2＜t≤4時，如圖3，DG交AB于點P，F(xiàn)G交AB于點Q，延長EF交AB于點H，，
由（2），可得EH=t，
∴FH=t-2，
∵∠QHF=∠ABC=45°，
∴QF=FH=t-2，
∴GQ=2-（t-2）=4-t，
∴PG=4-t，
∴S=2×2-$\frac{1}{2}$（4-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+4t-4．

③當4＜t≤5時，如圖4，EF交AC于點H，，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{EM}{BM}$，
∴$\frac{EH}{8}=\frac{\sqrt{5}t-4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$，
解得EH=2t-8，
∴HF=2-（2t-8）=10-2t，
∴S=GF•HF=2×（10-2t）=20-4t．
綜上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{2}t}^{2}，0≤t≤2}\\{-{\frac{1}{2}t}^{2}+4t-4，2＜t≤4}\\{20-4t，4＜t≤5}\end{array}\right.$．

（3）①當旋轉角為0°時，如圖5，，
點F在AC上，點P、Q分別在BA、BC的延長線上，
△BPQ是等腰直角三角形，
∴BP=BA+AP=$8\sqrt{2}+2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$．

②當旋轉角為45°時，如圖6，，
點P與點D重合，△BPQ為等要直角三角形，
∴BP=BD=BA+AD=8$\sqrt{2}$+2．

③當旋轉角為180°時，如圖7，，
點P在AB上，點Q在BC上，△BPQ為等要直角三角形，
∴BP=AB-AP=8$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．

④當旋轉角為225°時，如圖8，，
點P、D重合在AB上，點Q在BC的延長線上，
△BPQ為等要直角三角形，
∴BP=BD=AB-AD=8$\sqrt{2}$-2．

點評 （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數(shù)形結合思想的應用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．