Question

10．已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=9，∠C=60°，將一個30°角的頂點P放在DC邊上滑動（P不與D，C重合），保持30°角的一邊平行于BC，與邊AB交于點E，30°角的另一邊與射線CB交于點F，聯(lián)結(jié)EF．
（1）當(dāng)點F與點B重合時，求CP的長；
（2）當(dāng)點F在CB邊上時，設(shè)CP=x，PE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）當(dāng)EF=CP時，求CP的長．

Answer 1

分析 （1）證明∠BPC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CP的長；
（2）作FH⊥EP于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FC、PF的長，根據(jù)余弦的概念求出PH的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出EH，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）作PG⊥BC于G，證明Rt△EBF≌Rt△PGC，得到∠EFB=∠C，得到四邊形EFCP是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）當(dāng)點F與點B重合時，如圖1，
∵EP∥BC，
∴∠PBC=∠EPB=30°，又∠C=60°，
∴∠BPC=90°，
∴CP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$；
（2）如圖2，作FH⊥EP于H，
∵∠BPC=90°，∠C=60°，CP=x，
∴FC=2x，
∴FP=$\sqrt{3}$x，又∠EPF=30°，
∴cos30°=$\frac{PH}{PF}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$x，
∵四邊形EBFH是矩形，
∴EH=BF=9-2x，
∴y=$\frac{3}{2}$x+9-2x=9-$\frac{1}{2}$x（0≤x≤$\frac{9}{2}$）；
（3）當(dāng)EF=CP時，如圖3，
作PG⊥BC于G，
在Rt△EBF和Rt△PGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=PG}\\{EF=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBF≌Rt△PGC，
∴∠EFB=∠C=30°，
∴EF∥PC，又EP∥BC，
∴四邊形EFCP是平行四邊形，
∴EP=FC，
即9-$\frac{1}{2}$x=2x，
解得x=$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查的是直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線、靈活運用銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．