Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），E（0，5），B（2，5）三點，拋物線與x軸的另一個交點為C點，點P為y軸上一動點，作平行四邊形BPCD．
（1）求C點的坐標；
（2）是否存在P點，使四邊形BPCD為矩形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結PD，PD的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B，E點的坐標代入y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再將y=0代入，解一元二次方程即可求出C點的坐標；
（2）設拋物線y=-$\frac{5}{3}{x}^{2}$+$\frac{10}{3}$x+5與y軸交于點F，連結BF，則∠BFP=90°，先證明△BPF∽△PCO，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OP，然后寫出點P的坐標即可；
（3）連接BC，設PD、BC相交于點H，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得PD=2PH，再求出點H的坐標，再根據(jù)垂線段最短可得PH⊥y軸時，PH最短，從而求出PH，再求出PD即可；

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+0經(jīng)過點A（-1，0），E（0，5），B（2，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=5}\\{4a+2b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{5}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}+5$，
當y=0時，$-\frac{5}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x+5=0$，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C點的坐標為（3，0）；
（2）如圖1，

設拋物線$y=-\frac{5}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x+5$與y軸交于點F，則F點坐標為（0，5），連結BF，
∵B（2，5），
∴∠BFP=90°，
∵四邊形BPCD為矩形，∠BPC=90°，
∴∠BPF+∠OPC=90°，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠BPF=∠PCO．
在△BPF與△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠PCO}\\{∠BFP=∠POC=9{0}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△BPF∽△PCO，
∴$\frac{PF}{CO}=\frac{BF}{PO}$，
∵B（2，5），F(xiàn)（0，5），C（3，0），
∴BF=2，OC=3，OF=5，
∴PF=5-OP，
∴$\frac{5-OP}{3}=\frac{2}{OP}$，
整理得，OP²-5OP+6=0，
解得OP=2或OP=3，
∴點P的坐標為（0，2）或（0，3）；
（3）連接BC，設PD、BC相交于點H，

∵四邊形BPCD是平行四邊形，
∴PD、BC互相平分，
∴PD=2PH，
又∵C（3，0），B（2，5），
∴點H的坐標為（2.5，2.5），
根據(jù)垂線段最短，PH⊥y軸時，PH最短，
此時，PH=2.5，
PD=2PH=2×2.5=5．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的對角線互相平分的性質等知識，綜合性較強．利用圓的解析式求出拋物線到點E的距離等于2的點的縱坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．