Question

9．已知直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b經(jīng)過R（2$\sqrt{3}$，4）
（1）求直線l解析式；
（2）如圖1，設直線l交x軸，y軸于A、B兩點，點C為x軸正半軸上一動點，以BC為邊作等邊△BCD，E為AB中點，連接DE交y軸于點F，試問OF的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變化，求出其值；
（3）在（2）條件下，如圖2，若G（a，-1），H（a+$\sqrt{3}$，-1）．當a為何值時，四邊形ERHG的周長最�。�

Answer 1

分析 （1）直接把R點坐標代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b中求出b即可；
（2）如圖1，先求出B（0，2），A（-2$\sqrt{3}$，0），則利用三角函數(shù)可求出∠ABO=60°，則AB=2OB=4，所以BE=2，再證明△DBE≌△CBO得到∠DEB=∠COB=90°，然后在Rt△FEB中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BF=2BE=4，則OF=BF-BO=2，即OF的長度不發(fā)生變化；
（3）由G（a，-1），H（a+$\sqrt{3}$，-1）得到點G、H在直線y=-1上，且HG=a+$\sqrt{3}$-a=$\sqrt{3}$，過點E作EM∥x軸，且EM=$\sqrt{3}$，作M點關于y=-1的對稱點N，連結RN交直線y=-1于H，連結EG，如圖2，則可判斷四邊形EMHG為平行四邊形，得到EG=MH，利用兩點之間線段最短說明此時EG+HR最小，而ER和GH為定值，于是判斷此時四邊形ERHG的周長最小，接著表示出E（-$\sqrt{3}$，1），M（0，1），N（0，-3），然后利用待定系數(shù)法求出直線RN的解析式為y=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$x-3，則利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征確定H（$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，-1），所以a+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，易得a=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

解答 解：（1）把R（2$\sqrt{3}$，4）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b得$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{3}$+b=4，解得b=2，
所以直線l解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2；
（2）OF的長度不發(fā)生變化．
如圖1，當x=0時，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=2，則B（0，2），
當y=0時，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=0，解得x=-2$\sqrt{3}$，則A（-2$\sqrt{3}$，0），
在Rt△AOB中，∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∴AB=2OB=4，
∵E為AB中點，
∴BE=2，
∵△CBD為等邊三角形，
∴BD=BC，∠CBD=60°，
∴∠ABO-∠DBO=∠CBD-∠DBO，即∠EBD=∠OBC
在△DBE和△CBO中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠EBD=∠OBC}\\{BE=BO}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CBO，
∴∠DEB=∠COB=90°，
在Rt△FEB中，∵∠EBF=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BF=2BE=4，
∴OF=BF-BO=4-2=2，
即OF的長度不發(fā)生變化；
（3）∵G（a，-1），H（a+$\sqrt{3}$，-1），
∴點G、H在直線y=-1上，且HG=a+$\sqrt{3}$-a=$\sqrt{3}$，
過點E作EM∥x軸，且EM=$\sqrt{3}$，作M點關于y=-1的對稱點N，連結RN交直線y=-1于H，連結EG，如圖2，
∵EM∥GH，EM=GH，
∴四邊形EMHG為平行四邊形，
∴EG=MH，
∵M點與N點關于直線y=-1對稱，
∴HN=HE，
∴EG+HR=MH+HR=HN+HR=NR，
∴此時EG+HR最小，而ER和GH為定值，
∴此時四邊形ERHG的周長最小，
∵E（-$\sqrt{3}$，1），
而EM=$\sqrt{3}$，
∴M（0，1），
∴N（0，-3），
設直線RN的解析式為y=mx+n，
把R（2$\sqrt{3}$，4），N（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}m+n=4}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{7\sqrt{3}}{6}}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線RN的解析式為y=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$x-3，
當y=-1時，$\frac{7\sqrt{3}}{6}$x-3=-1，解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴H（$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，-1），
∴a+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴a=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
即a=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$時，四邊形ERHG的周長最�。�

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題：熟練掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和等邊三角形的性質；會利用三角形全等的知識解決角度相等的問題；學會解決最短路徑問題．