Question

4．在?ABOC中，AO⊥BO，且AO=BO．以AO、BO所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知B（-6，0），直線y=3x+b過點(diǎn)C且與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠BED=45°時，求直線EC的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線EC與x軸交于點(diǎn)F，ED與AC交于點(diǎn)G．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿折線OF-FE運(yùn)動，在OF上的速度是每秒2個單位，在FE上的速度是每秒$\sqrt{2}$個單位．在運(yùn)動過程中直線PA交BE于H，設(shè)運(yùn)動時間為t．當(dāng)以E、H、A為頂點(diǎn)的三角形與△EGC相似時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C的坐標(biāo)代入y=3x+b，可求出直線CD的解析式，從而求出D的坐標(biāo)；
（2）求出直線ED和OC的交點(diǎn)M，可得到M為等腰直角三角形OAC的中點(diǎn)，連結(jié)AM，算出AB，AM的長，通過△BAE∽△EAM，求出AE的長，進(jìn)而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出直線EC的解析式；
（3）分兩種情況：①P在OF上運(yùn)動，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可，當(dāng)∠HAE=45°時，有∠OAP=∠HAE=45°，得到△AOP為等腰直角三角形，從而求出t的值；
②P在EF上運(yùn)動，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠AHE=∠GCE=45°即可，當(dāng)∠AHE=45°時，由∠HEI=45°，得到∠HIE=90°，故AP⊥ED，求出直線AP的解析式，再求出直線AP與EF得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式算出EP的長，從而得出PF的長，分別算出P在OF上運(yùn)動的時間與P在FE上運(yùn)動的時間，兩者相加，得到t的值．

解答 解：（1）∵B（-6，0），
∴OB=6，
∵AO=BO，
∴AO=6，
∵四邊形ABCD是平行四邊形ABOC，
∴AC=BO=6，
∴C（6，6），
∵直線過y=3x+b點(diǎn)C，
∴6=3×6+b
∴b=-12，
∴直線CD的解析式為：y=3x-12，在y=3x-12中，令y=0，
解得：x=4，
∴D（4，0）；
（2）設(shè)E（0，t），t＞0，即EO=t，
∵∠BEO+∠OED=45°，
∴tan∠BEO=$\frac{BO}{t}$=$\frac{6}{t}$，tan∠OED=$\frac{OD}{t}=\frac{4}{t}$，
∴tan（∠BEO+∠OED）=tan45°=1=$\frac{tan∠BEO+tan∠OED}{1-tan∠BEO•tan∠OED}=\frac{10t}{{t}^{2}-24}$，
∴t=12，t=-2（舍），
∴E（0，12），
∵C（6，6），
∴直線EC的解析式為：y=-x+12； 
（3）分兩種情況：①當(dāng)P在OF上運(yùn)動時，
∵直線EC的解析式為：y=-x+12，令y=0，得：x=12，
∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°，
∵AC∥OB，
∴∠ACE=∠OFE=45°，
∴∠CEG+∠AEG=45°，
∵∠BAD=45°，
∴∠HEA=∠GEC，
要使△EHA與△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．當(dāng)∠HAE=45°時，∠OAP=∠HAE=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OP=OA=6，
即t=6÷2=3；
②當(dāng)P在EF上運(yùn)動時，由①可知，△EHA與△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°，
∴只需要∠EHA=45°即可．當(dāng)∠EHA=45°時，
∵∠HEI=45°，
∴∠HIE=90°，
∵AP⊥ED，
∴直線AP的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+n，
把A（0，6）代入，得：n=6，
∴直線AP的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+6，
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+6}\\{y=-x+12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4.5}\\{y=7.5}\end{array}\right.$，
∴P（4.5，7.5），
∴EP=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵EF=$\sqrt{2}$OE=12$\sqrt{2}$，
∴FP=12$\sqrt{2}$-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴點(diǎn)P從O到P所用的時間=12÷2+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{27}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似形綜合題，用到的知識點(diǎn)有相似三角形的判斷和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)難度較大，對學(xué)生的解題能力較強(qiáng)很高，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，爭取做到解題補(bǔ)充不漏．