Question

16．設(shè)a，b，c是△ABC的三邊，關(guān)于x的方程（b+c）x²+$\sqrt{2}$（a-c）x-$\frac{3}{4}$（a-c）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c滿(mǎn)足a-5b+2c=0．
（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）試求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式得△=0，代入計(jì)算可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)已知列方程組解出即可．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
∵關(guān)于x的方程（b+c）x²+$\sqrt{2}$（a-c）x-$\frac{3}{4}$（a-c）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=$[\sqrt{2}（a-c）]^{2}$-4（b+c）•[-$\frac{3}{4}$（a-c）]=0，
2（a-c）²+3（b+c）（a-c）=0，
（a-c）（2a-2c+3b+3c）=0，
（a-c）（2a+3b+c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三邊，
∴2a+3b+c≠0，
∴a-c=0，
a=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）有$\left\{\begin{array}{l}{a=c}\\{a-5b+2c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=c}\\{b=\frac{3}{5}c}\end{array}\right.$，
∴a：b：c=c：$\frac{3}{5}$c：c=5：3：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，熟練掌握利用根的判別式（△=b²-4ac）判斷方程的根的情況：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．