Question

14．已知關(guān)于x的方程kx²-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）k為何值時(shí)，方程的兩根滿足x₁=3x₂？

Answer 1

分析 （1）由方程kx²-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k≠0，且△＞0，即2²-4•k•3＞0，然后解不等式求出它們的公共部分即可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{3}{k}$，再根據(jù)x₁=3x₂，分別代入兩個(gè)式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行取舍即可．

解答 解：（1）∵x的方程kx²-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0，且△＞0，即2²-4•k•3＞0，解得k＜$\frac{1}{3}$，
∴k的取值范圍為：k＜$\frac{1}{3}$且k≠0．

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：
x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{3}{k}$，
當(dāng)x₁=3x₂，
分別代入上面兩個(gè)式子，消去x₁和x₂，整理得：4k²-k=0，解得k=0或k=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)k=0時(shí)，顯然不合題意，
當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時(shí)，其判別式△=1≥0，
所以當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時(shí)，方程兩根之比為方程的兩根滿足x₁=3x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．