Question

4．如圖，正方形ABCD，點P為對角線AC上一個動點，Q為CD邊上一點，且∠BPQ=90°．
（1）求證：PB=PQ；
（2）若BC+CQ=8，求四邊形BCQP的面積；
（3）設(shè)AP=x，ABCD的面積為y，且CQ=2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．只要證明△PEB≌△PFQ即可解決問題；
（2）只要證明S_{四邊形BCQP}=S_{四邊形CEPF}即可解決問題；
（3）如圖2，過P做EF∥AD分別交AB和CD于E、F．易知AE=PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由△BPE≌△PQF，推出EP=AE=QF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由BE=CF=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，推出AB=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=2+$\sqrt{2}$x，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
∴PE=PF，
∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四邊形PECF是矩形，∵PE=PF，
∴四邊形PECF是正方形，
∴∠EPF=∠BPQ=90°，
∴∠BPE=∠QPF，∵∠PEB=∠PFQ=90°，
∴△PEB≌△PFQ，
∴PB=PQ．

（2）解：如圖1中，由（1）可知△BPE≌△PQF，四邊形PECF是正方形，
∴BE=FQ，CE=CF，S_△BPE=S_△PQF，
∵BC+CQ=8，
∴EC+FC=BC+CQ=8，
∴CE=CF=4，
又∵S_△BPE=S_△PQF，
∴S_{四邊形BCQP}=S_{四邊形CEPF}=16．

（3）解：如圖2，過P做EF∥AD分別交AB和CD于E、F．
∵AP=x，
∴AE=PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵△BPE≌△PQF，
∴EP=AE=QF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵BE=CF=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AB=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=2+$\sqrt{2}$x，
∴y=（2+$\sqrt{2}$x）²=2x²+4$\sqrt{2}$x+4．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．