Question

8．觀察下列各式
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
①根據(jù)以上規(guī)律，則（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1．
②你能否由此歸納出一般性規(guī)律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．
③根據(jù)②求出：1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的結(jié)果．

Answer 1

分析 ①觀察已知各式，得到一般性規(guī)律，化簡原式即可；
②原式利用得出的規(guī)律化簡即可得到結(jié)果；
③原式變形后，利用得出的規(guī)律化簡即可得到結(jié)果．

解答 解：①根據(jù)題意得：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
②根據(jù)題意得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
③原式=（2-1）（1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵）=2³⁶-1．
故答案為：①x⁷-1；②xⁿ⁺¹-1；③2³⁶-1

點評 此題考查了多項式乘以多項式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．